De familia judía; su padre era ingeniero, y su madre profesora de piano. A la temprana edad de tres años ya comenzaba a tocar el piano. A los seis años ingresó en la prestigiosa Gnessin School of Music for Gifted Children de Moscú, en la cual destacaba respecto a los demás jóvenes de su edad. Su primer debut con orquesta lo realizó cuando contaba con diez años, interpretando el concierto KV. 466 de Mozart. Demostró su gran talento en 1984 con la interpretación de los conciertos para piano 1 y 2 de Chopin con la Orquesta Filarmónica de Moscú, bajo la batuta de Dmitri Kitayenko.
Kissin comenzó a ser conocido en los demás países de Europa a partir de 1987, con su participación en el festival de Berlín. Al año siguiente interpreta el Concierto No. 1 para piano de Tchaikovsky, dirigido por el famoso director de orquesta Herbert von Karajan. Tras esto realizó giras tanto por Europa como por Estados Unidos (en este último acompañado por la Orquesta Filarmónica de New York, bajo la dirección de Zubin Mehta). En 1992 fue invitado especial en los premios Grammy.
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